Question

9．將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b．
（Ⅰ）求直線ax+by+5=0與圓x²+y²=1有公共點(diǎn)的概率；
（Ⅱ）求方程組$\left\{{\begin{array}{l}{ax+by=3}\\{x+2y=2}\end{array}}\right.$只有正數(shù)解的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直線ax+by+5=0與圓x²+y²=1有公共點(diǎn)得：a²+b²≥25，統(tǒng)計(jì)滿足條件的（a，b）的個(gè)數(shù)，代入古典概型概率計(jì)算公式，可得答案；
（Ⅱ）求出方程組$\left\{{\begin{array}{l}{ax+by=3}\\{x+2y=2}\end{array}}\right.$的解，統(tǒng)計(jì)滿足方程解為正的（a，b）的個(gè)數(shù)，代入古典概型概率計(jì)算公式，可得答案；

解答 解：（Ⅰ）先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，事件總數(shù)為6×6=36．
因?yàn)橹本�ax+by+5=0與圓x²+y²=1有公共點(diǎn)，
所以有$\frac{5}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}≤1$，
即a²+b²≥25，
由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}．
∵滿足條件a²+b²＜25的情況（a，b）有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），
（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），共13種情況．
所以，直線ax+by+c=0與圓x²+y²=1有公共點(diǎn)的概率是$P=1-\frac{13}{36}=\frac{23}{36}$---（6分）
（Ⅱ）由$\left\{{\begin{array}{l}{ax+by=3}\\{x+2y=2}\end{array}}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2b-6}{b-2a}\\ y=\frac{3-2a}{b-2a}\end{array}\right.$，
滿足x＞0，且y＞0的情況（a，b）有：
（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），
（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2，共13種情況．
所以，方程組$\left\{{\begin{array}{l}{ax+by=3}\\{x+2y=2}\end{array}}\right.$只有正數(shù)解的概率P=$\frac{13}{36}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概型的概率計(jì)算公式，難度不大，是基礎(chǔ)題目．