Question

10．已知函數(shù)f（x）在定義域（-∞，+∞）上為奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+x+1，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，由已知表達(dá)式可求得f（-x），根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）與f（-x）的關(guān)系式，求出x＞0時(shí)的表達(dá)式，再推出f（0）=0，可得答案．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，
∵x＜0時(shí)，f（x）=x²+x+1，
∴f（-x）=（-x）²+（-x）+1=x²-x+1，
又f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-（x²-x+1）=-x²+x-1，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-x²+x-1，
又f（0）=0滿足題意，
綜上得，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+x+1，x＜0\\ 0，x=0\\{-x}^{2}+x-1，x＞0\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)解析式的求解及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題，解決該類題目要注意所求解析式對應(yīng)的x的范圍．