Question

1．在一次抽樣調(diào)査中測得樣本的6組數(shù)據(jù)，得到一個(gè)變量y關(guān)于x的回歸方程模型，其對(duì)應(yīng)的數(shù)值如表

x	2	3	4	5	6	7
y	3.00	2.48	2.08	1.86	1.48	1.10

（Ⅰ）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)r加以說明y與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系（當(dāng)|r|＞0.81時(shí)，說明y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系）；
（Ⅱ）根據(jù)（I ）的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的回歸方程并預(yù)測當(dāng)x=9時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值為多少（b精確到0.01）
附參考公式：回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：
$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$，相關(guān)系數(shù)r公式為：r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$
參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}$=47.64，$\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}$=139，$\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=4.18，$\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$=1.53．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意計(jì)算$\overline{x}$、$\overline{y}$，利用公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)r，由此說明x與y之間存在相關(guān)關(guān)系；
（Ⅱ）求出回歸系數(shù)$\stackrel{∧}$、$\stackrel{∧}{a}$，寫出回歸方程，利用回歸方程求出x=9時(shí)$\stackrel{∧}{y}$的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意得$\overline{x}$=$\frac{1}{6}$（2+3+4+5+6+7）=4.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$（3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10）=2，

且$\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}$=47.64，$\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=4.18，$\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$=1.53；
∴相關(guān)系數(shù)r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$=$\frac{47.64-6×4.5×2}{4.18×1.53}$=-$\frac{6.36}{6.3954}$≈-0.99，
由|r|＞0.81，說明x與y之間存在相關(guān)關(guān)系；
（Ⅱ）由$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{47.64-6×4.5×2}{139-6{×4.5}^{2}}$=-$\frac{6.36}{17.5}$≈-0.36，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=2-（-0.36）×4.5=3.62，
所以x與y的回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=-0.36x+3.62，
將x=9代入線性回歸方程得$\stackrel{∧}{y}$=-0.36×9+3.62=0.38．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的應(yīng)用問題，也考查了相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用問題，是中檔題．