Question

12．自2016年下半年起六安市區(qū)商品房價(jià)不斷上漲，為了調(diào)查研究六安城區(qū)居民對六安商品房價(jià)格承受情況，寒假期間小明在六安市區(qū)不同小區(qū)分別對50戶居民家庭進(jìn)行了抽查，并統(tǒng)計(jì)出這50戶家庭對商品房的承受價(jià)格（單位：元/平方），將收集的數(shù)據(jù)分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五組（單位：元/平方），并作出頻率分布直方圖如圖：
（Ⅰ）試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)出這50戶家庭對商品房的承受價(jià)格平均值（單位：元/平方）；
（Ⅱ）為了作進(jìn)一步調(diào)查研究，小明準(zhǔn)備從承受能力超過4000元/平方的居民中隨機(jī)抽出2戶進(jìn)行再調(diào)查，設(shè)抽出承受能力超過8000元/平方的居民為ξ戶，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)；
（Ⅱ）由頻率分布直方圖，計(jì)算承受價(jià)格超過4000元、超過8000元的居民戶數(shù)，得出ξ的可能取值，寫出ξ的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）50戶家庭對商品房的承受價(jià)格平均值為$\overline x$（元/平方），
則$\overline x=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000$=3360；
（Ⅱ）由頻率分布直方圖，承受價(jià)格超過4000元的居民共有
（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15（戶），
承受價(jià)格超過8000元的居民共有：
0.00003×2000×50=3（戶），
因此ξ的可能取值為0，1，2，
$P（ξ=0）=\frac{{C_{12}^2}}{{C_{15}^2}}=\frac{22}{35}$，
$P（ξ=1）=\frac{{C_3^1C_{12}^1}}{{C_{15}^2}}=\frac{12}{35}$，
$P（ξ=0）=\frac{C_3^2}{{C_{15}^2}}=\frac{1}{35}$，
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{22}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

數(shù)學(xué)期望為E（ξ）=$0×\frac{22}{35}+1×\frac{12}{35}+2×\frac{1}{35}=\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望問題，也考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，是中檔題．