Question

【題目】已知圓，圓心為，定點(diǎn)， 為圓上一點(diǎn)，線段上一點(diǎn)滿足，直線上一點(diǎn)，滿足．

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）為坐標(biāo)原點(diǎn)， 是以為直徑的圓，直線與相切，并與軌跡交于不同的兩點(diǎn)．當(dāng)且滿足時(shí)，求面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）分析題意可得點(diǎn)滿足的幾何條件，根據(jù)橢圓的定義可得軌跡，從而可求得軌跡方程；（Ⅱ）先由直線與相切得到，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，并結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，由且，進(jìn)一步得到k的范圍，最后根據(jù)三角形面積公式并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求的取值范圍。

試題解析：

（Ⅰ）∵

∴為線段中點(diǎn)

∵

∴為線段的中垂線

∴

∵

∴由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

則， ，

∴。

∴點(diǎn)的軌跡的方程為。

（Ⅱ）∵圓與直線相切，

∴，即，

由，消去.

∵直線與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，

∴，

將代入上式，可得，

設(shè)， ，

則， ，

∴ ，

∴

∴，

∵，解得.滿足。

又，

設(shè)，則.

∴ ，

∴

故面積的取值范圍為。