Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=2a_na_n+1+3a_n+1（n∈N^*），a₁=$\frac{1}{2}$．
（1）設(shè)b_n=1+$\frac{1}{{a}_{n}}$，證明：{b_n}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若對任意正整數(shù)n（n≥2），不等式$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{n+lo{g}_{3}_{k}}$＞$\frac{m}{24}$恒成立，求整數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過對等式a_n=2a_na_n+1+3a_n+1兩邊同時(shí)除以a_na_n+1、整理可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=3（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1），進(jìn)而數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是以首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知log₃b_n=n，通過記f（n）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$并利用作差法可知f（n+1）-f（n）＞0，問題轉(zhuǎn)化為解不等式f（n）_min=f（2）＞$\frac{m}{24}$，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n=2a_na_n+1+3a_n+1（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=2+3•$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=3（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$+1=2+1=3，
∴數(shù)列{b_n}是以首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=3ⁿ，
∴a_n=$\frac{1}{{3}^{n}-1}$；
（2）解：由（1）可知，log₃b_n=$lo{g}_{3}{3}^{n}$=n，
∴$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{n+lo{g}_{3}_{k}}$=$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{n+k}$，
∴不等式$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{n+lo{g}_{3}_{k}}$＞$\frac{m}{24}$恒成立，
等價(jià)于：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$＞$\frac{m}{24}$，
記f（n）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$，
則f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+2}$＞0，
∴f（n）隨著n的增大而增大，
∴f（n）_min=f（2）=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$，
∴$\frac{7}{12}$＞$\frac{m}{24}$，即m＜14，
故整數(shù)m的最大值為13．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．