Question

17．定義在正整數(shù)集上的函數(shù)f（x）對任意m，n∈N^*，都有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2，且f（1）=1．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）若m²-tm-1≤f（x）對于任意的m∈[-1，1]，x∈N^*恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令m=1得到關于f（n）的遞推關系，利用累加法即可求f（x）的表達式；
（2）利用參數(shù)分離法將不等式恒成立進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合基本不等式進行求解即可．

解答 解：（1）∵f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2，且f（1）=1，
∴令m=1，
則f（n+1）=f（1）+f（n）+4（1+n）-2=f（n）+4n+3，
即f（n+1）-f（n）=4n+3，
則f（2）-f（1）=7
f（3）-f（2）=11，
…
f（n）-f（n-1）=4（n-1）+3=4n-1，
等式兩邊同時相加得f（n）-f（1）=7+11+…+（4n-1）=$\frac{（7+4n-1）（n-1）}{2}$=2n²+n-3，
則f（n）=2n²+n-3+f（1）=2n²+n-2．
即f（x）=2x²+x-2．x∈N^*．
（2）∵f（x）=2x²+x-2的對稱軸為x=-$\frac{1}{4}$，
∴當x∈N^*時，函數(shù)f（x）的最小值為f（1）=2+1-2=1，
若m²-tm-1≤f（x）對于任意的m∈[-1，1]，x∈N^*恒成立，
則等價為m²-tm-1≤1對于任意的m∈[-1，1]，x∈N^*恒成立，
即m²-tm-2≤0對于任意的m∈[-1，1]，x∈N^*恒成立，
當m=0時，-2≤0，恒成立，
當m＜0時，原式等價于t≤$\frac{{m}^{2}-2}{m}=m-\frac{2}{m}$在m∈[-1，0）恒成立，而函數(shù)y=m-$\frac{2}{m}$在[-1，0）上為增函數(shù)，則此時y=m-$\frac{2}{m}$的最小值為-1+2=1，
∴t≤1；
當m＞0時，原式等價于t≥$\frac{{m}^{2}-2}{m}=m-\frac{2}{m}$在m∈（0，1]恒成立，而函數(shù)y=m-$\frac{2}{m}$在（0，1]上為增函數(shù)，此時y=m-$\frac{2}{m}$的最大值為1-2=-1，
∴t≥-1
綜上可得，-1≤m＜0時，t≤1，
m=0時，t∈R，
0＜m≤1時，t≥-1．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應用，利用賦值法是解決本題的關鍵．利用參數(shù)分離法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性是求恒成立問題的基本方法．