Question

6．已知函數(shù)y=-x²+6x-3，若函數(shù)在[a，b]（a＜b）上的取值范圍是[2a，2b]，求實數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)y=-x²+6x-3的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)在[a，b]為增函數(shù)，進而可得a，b是方程-x²+6x-3=2x不大于3的兩個不等實數(shù)根，解得答案．

解答 解：∵函數(shù)y=-x²+6x-3的圖象是開口朝下，且以直線x=3為對稱軸的拋物線，
故當x=3時，函數(shù)的最大值6，
故2a＜2b≤6，
故a＜b≤3，
故函數(shù)在[a，b]為增函數(shù)，
則-a²+6a-3=2a且-b²+6b-3=2b，
故a，b是方程-x²+6x-3=2x不大于3的兩個不等實數(shù)根，
解-x²+6x-3=2x得：x=1，或x=3，
故a=1，b=3

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．