Question

15．已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AD=AB=$\frac{1}{2}$CD=1，PD⊥面ABCD，PD=$\sqrt{2}$，E是PC的中點
（1）證明：BC⊥平面PBD；
（2）求二面角E-BD-C的大�。�

Answer 1

分析 （1）由條件即可以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DP三直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出圖形中各點的坐標(biāo)，求$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{DB}=0$，從而得到BC⊥DB．而由PD⊥面ABCD即可得到BC⊥PD，從而由線面垂直的判定定理即可得出BC⊥平面PBD；
（2）首先看出$\overrightarrow{DP}$是平面CBD的一條法向量，并且可設(shè)平面EBD的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{n}$，可求出cos$＜\overrightarrow{DP}，\overrightarrow{n}＞$，可設(shè)二面角E-BD-C的大小為θ，而根據(jù)平面法向量的夾角和兩平面形成二面角的關(guān)系即可求出cosθ，從而求出θ．

解答 解：根據(jù)已知條件，DA，DC，DP三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：
D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），E（0，1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
（1）證明：$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{DB}=（1，1，0）$；
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{DB}=0$；
∴$\overrightarrow{BC}⊥\overrightarrow{DB}$；
∴BC⊥DB；
又PD⊥面ABCD，BC?面ABCD；
∴BC⊥PD，PD∩DB=D；
∴BC⊥平面PBD；
（2）$\overrightarrow{DP}=（0，0，\sqrt{2}）$為平面CBD的一條法向量，$\overrightarrow{DE}=（0，1，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$\overrightarrow{DB}=（1，1，0）$；
設(shè)平面EBD的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=y+\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{z=-\sqrt{2}y}\\{x=-y}\end{array}\right.$，取y=1，則$\overrightarrow{n}=（-1，1，-\sqrt{2}）$；
設(shè)二面角E-BD-C的大小為θ，則cos$θ=-cos＜\overrightarrow{DP}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{2}{\sqrt{2}•2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴θ=45°；
即二面角E-BD-C的大小為45°．

點評 考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線線垂直，以及求二面角大小的方法，線面垂直的判定定理，兩非零向量垂直的充要條件，平面法向量的概念及求法，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，弄清兩平面法向量的夾角和這兩平面形成二面角的大小的關(guān)系．