Question

4．袋中裝有4個黑球和3個白球，現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取…取后不放回，每次一人只取1球，直到兩人中有一人取到白球為止，每個球在每一次被取出的機(jī)會是相等的，用ξ表示終止時所需要的取球次數(shù)．
（1）求甲第一次取球就取到白球的概率；
（2）求隨機(jī)變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)“甲第一次取到白球”的事件為A，則P（A）=P（ξ=1），由此能求出甲第一次取球就取到白球的概率．
（Ⅱ）由題意知ξ的可能取值為1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出取球次數(shù)ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望．分）

解答 解：（Ⅰ）設(shè)“甲第一次取到白球”的事件為A，則P（A）=P（ξ=1）．
因為事件“ξ=1”表示“甲第一次取球就取到白球”，
所以P（A）=P（ξ=1）=$\frac{3}{7}$．（4分）
（Ⅱ）由題意知ξ的可能取值為1，2，3，4，5．（6分）
P（ξ=1）=$\frac{3}{7}$；
P（ξ=2）=$\frac{4×3}{7×6}$=$\frac{2}{7}$；
P（ξ=3）=$\frac{4×3×3}{7×6×5}$=$\frac{6}{35}$；
P（ξ=4）=$\frac{4×3×2×3}{7×6×5×4}$=$\frac{3}{35}$；
P（ξ=5）=$\frac{4×3×2×1×3}{7×6×5×4×3}$=$\frac{1}{35}$．（10分）
所以取球次數(shù)ξ的概率分布如下表所示：

ξ	1	2	3	4	5
P	$\frac{3}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{6}{35}$	$\frac{3}{35}$	$\frac{1}{35}$

E（ξ）=1×$\frac{3}{7}+2×\frac{2}{7}+3×\frac{6}{35}+4×\frac{3}{35}+5×\frac{1}{35}$=2．（13分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．