Question

4．PM 2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學當量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．根據(jù)現(xiàn)行國家標準GB3095-2012，PM 2.5日均值在35微克/立方米以下，空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間，空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上，空氣質(zhì)量為超標．從某自然保護區(qū)2014年全年每天的PM 2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示：

PM 2.5日均值（微克/立方米）	[25，35]	（35，45]	（45，55]	（55，65]	（65，75]	（75，85]
頻數(shù)	3	1	1	1	1	3

（1）從這10天的PM 2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率；
（2）從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM 2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求ξ的分布列；
（3）以這10天的PM 2.5日均值來估計一年的空氣質(zhì)量情況，則一年（按365天計算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達到一級或二級（精確到整數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合題意可知，符合獨立重復試驗的概率的特點，選擇公式即可求解；
（2）依據(jù)條件，ξ服從超幾何分布，其中N=10，M=3，n=3，代入公式即可求解；
（3）先求出一年中每天空氣質(zhì)量達到一級或二級的概率，即可求解．

解答 解：（1）記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達到一級”為事件A，則$P（A）=\frac{C_3^1•C_7^2}{{C_{10}^3}}=\frac{21}{40}$
答：恰有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率為$\frac{21}{40}$
（2）依據(jù)條件，ξ服從超幾何分布，其中N=10，M=3，n=3，
ξ的可能取值為0，1，2，3，$P（ξ=k）=\frac{{C_3^kC_7^{3-k}}}{{C_{10}^3}}（k=0，1，2，3）$，
其分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$

（3）依題意可知，10天中每天空氣質(zhì)量達到一級或二級的天數(shù)有7天，即10天中空氣質(zhì)量達到一級或二級的概率為P=$\frac{7}{10}$
設一年中空氣質(zhì)量達到一級或二級的天數(shù)為365×$\frac{7}{10}$≈256，
∴估計一年中平均有256天的空氣質(zhì)量達到一級或二級．

點評 本題主要考查了離散型隨機變量的分布列、期望的求解，解題關鍵是準確判斷概率模型，求解相應的概率．