Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}-\frac{1}{{3}^{x}}，x≥0}\\{0，x＜0}\end{array}\right.$
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若3^x•f（2t）+mf（t）≥0對于t∈[1，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）=2即3^x-$\frac{1}{{3}^{x}}$=2，先解3^x，再解x值，注意3^x＞0；
（2）不等式3^t•f（2t）+mf（t）≥0恒成立，通過整理變形轉(zhuǎn)化為3^2t+1+m≥0恒成立，分離參數(shù)m后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題解決

解答 解：（1）f（x）=2即3^x-$\frac{1}{{3}^{x}}$=2，得3^2x-2×3^x-1=0，∴3^x=1±$\sqrt{2}$，
又3^x＞0，∴3^x=1+$\sqrt{2}$，
∴x=log₃（1+$\sqrt{2}$）．
（2）∵3^t•f（2t）+mf（t）≥0，
∴3^t（3^2t-3^-2t）+m（3^t-3^-t）≥0，
∵t∈[1，2]，
∴3^2t+1+m≥0恒成立，即m≥-（3^2t+1）恒成立，
問題等價于m大于等于-（3^2t+1）的最大值-10，
∴m≥-10，
因此m的取值范圍為[-10，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題及指數(shù)方程的求解，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力，恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題解決，或分離參數(shù)后再求函數(shù)最值．