Question

19．對于函數(shù)f（x）=tanx在定義域（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）中的任意x₁，x₂有以下結論：
①f（x+π）=f（x）
②f（-x）=f（x）
③f（0）=1
④f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$
⑤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＞0
以上結論正確的有①⑤．

Answer 1

分析 由正切函數(shù)的圖象和性質，逐個選項驗證可得．

解答 解：∵正切函數(shù)的周期為π，∴①f（x+π）=f（x）正確；
∵正切函數(shù)的周期為奇函數(shù)，∴②f（-x）=f（x）錯誤；
計算可得f（0）=tan0=0≠1，故③錯誤；
由正切函數(shù)的圖象和性質可得當x₁，x₂∈（-$\frac{π}{2}$，0）時，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$；
但當當x₁，x₂∈（0，$\frac{π}{2}$）時，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，故④錯誤；
⑤由正切函數(shù)在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）單調遞增可知對（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）中的任意x₁，x₂有$\frac{f（{x}_{1}）-f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}-（-{x}_{2}）}$＞0成立，
再由正切函數(shù)為奇函數(shù)可得$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＞0，故⑤正確．
故答案為：①⑤

點評 本題考查正切函數(shù)的圖象和性質，屬中檔題．