Question

4．給出下列四個結(jié)論：
①若a、b∈[0，1]，則不等式a²+b²≤1成立的概率為$\frac{π}{4}$；
②由曲線y=x³與y=$\root{3}{x}$所圍成的封閉圖形的面積為0.5；
③已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（3，σ²），若P（ξ≤5）=m，則P（ξ≤1）=1-m；
④（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）⁸的展開式中常數(shù)項為$\frac{35}{8}$．
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①利用幾何概型進行判斷；
②作出函數(shù)圖象，求出交點坐標(biāo)，利用積分的幾何意義，求面積即可；
③已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（3，σ²），則圖象關(guān)于x=3對稱，利用P（ξ≤1）=P（ξ≥5），可得結(jié)論；
④（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）⁸的展開式的通項為T_r+1=${C}_{8}^{r}•{2}^{-r}•{x}^{4-r}$，令4-r=0，則r=4，可得常數(shù)項．

解答 解：①若a，b∈[0，1]，則a，b對應(yīng)的平面區(qū)域為正方形，面積為1，不等式a²+b²≤1成立，對應(yīng)的區(qū)域為半徑為1的圓在第一象限的部分，所以面積為$\frac{π}{4}$，所以由幾何概型可知不等式a²+b²≤1成立的概率是$\frac{π}{4}$．所以①正確．
②作出兩個函數(shù)的圖象如圖：A（1，1），B（-1，-1），
由函數(shù)的對稱性和積分的幾何意義可知所圍成的封閉圖形的面積為：2${∫}_{0}^{1}$（$\root{3}{x}$-x³）dx=2（$\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{4}{x}^{4}$）${|}_{0}^{1}$=1，故不正確；
③已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（3，σ²），則圖象關(guān)于x=3對稱，又P（ξ≤5）=m，則P（ξ≤1）=P（ξ≥5）=1-m，故正確；
④（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）⁸的展開式的通項為T_r+1=${C}_{8}^{r}•{2}^{-r}•{x}^{4-r}$，令4-r=0，則r=4，可得常數(shù)項為$\frac{35}{8}$，故正確．
故選：C．

點評 本題主要考查了各種命題的真假判斷，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性較強．