Question

已知點P是曲線y＝x²－ln x上的一個動點，則點P到直線l：y＝x－2的距離的最小值為________．

Answer 1

[解析]　通解：設(shè)P(x，y)，則點P到直線l的距離為

令h(x)＝x＋ln x－x²－2，則h′(x)＝1＋－2x(x>0)．令1＋－2x＝0，解得x＝1，即當0<x<1時，h′(x)>0，此時h(x)為增函數(shù)；當x>1時，h′(x)<0，此時h(x)為減函數(shù)．所以當x＝1時，h(x)取最大值，h(x)_max＝1＋ln 1－1²－2＝－2，所以|x＋ln x－x²－2|_min＝2，所以點P到直線l的距離的最小值為＝.

優(yōu)解：y′＝2x－(x>0)，因為將直線l平移到與曲線第一次相切時，點P到直線l的距離最小，即為切點到直線l的距離，而直線l：y＝x－2的斜率為1，所以令2x－＝1，解得x＝1(x＝－舍去)，所以切點坐標為(1,1)，它到直線y＝x－2的距離為＝，即點P到直線l的距離的最小值為.