Question

對數(shù)列{a_n}和{b_n}，若對任意正整數(shù)n，恒有b_n≤a_n，則稱數(shù)列{b_n}是數(shù)列{a_n}的“下界數(shù)列”．
（1）設數(shù)列a_n=2n+1，請寫出一個公比不為1的等比數(shù)列{b_n}，使數(shù)列{b_n}是數(shù)列{a_n}的“下界數(shù)列”；
（2）設數(shù)列an=2n2-3n+10，bn=

n+2

2n-7

，求證數(shù)列{b_n}是數(shù)列{a_n}的“下界數(shù)列”；
（3）設數(shù)列an=

1

n2

，bn=

7，n=1 7 n - 7 n-1 ，n≥2

，n∈N^*，構造T_n=（1-a₂）（1-a₃）…（1-a_n），P_n=（1+b₁）+（1+b₂）+…+（1+b_n），求使T_n≤kP_n對n≥2，n∈N^*恒成立的k的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：新定義

分析：（1）bn=(

1

2

)n，根據(jù)新定義，驗證下即可；
（2）先確定n=1時a_n最小值為9；n=4時，b_n最大值為6，從而b_n＜a_n，可得結論；
（3）求出T_n，P_n，再利用分離參數(shù)法，可得k≥

n+1

2(n2+7)

，T_n≤kP_n對n≥2，n∈N^*恒成立，等價于k≥[

n+1

2(n2+7)

]max，從而求出函數(shù)的最大值，即可求得k的最小值．

解答： （1）解：bn=(

1

2

)n，此時令y=b_n-a_n=(

1

2

)n-（2n+1），則y′=(

1

2

)nln

1

2

-2＜0，
∴函數(shù)單調(diào)遞減，∴b_n-a_n≤b₁-a₁=-

5

2

＜0
∴對任意正整數(shù)n，恒有b_n＜a_n，
∴數(shù)列{b_n}是數(shù)列{a_n}的“下界數(shù)列”；…（4分）
（2）證明：an=2(n-

3

4

)2+

71

8

，當n=1時a_n最小值為9；…（6分）
bn=

1

2

•

n- 7 2 + 11 2

n- 7 2

=

1

2

(1+

11 2

n- 7 2

)，則b3＜b2＜b1＜

1

2

，b4＞b5＞…＞

1

2

，
因此，n=4時，b_n最大值為6，…（9分）
所以，b_n＜a_n，數(shù)列{b_n}是數(shù)列{a_n}的“下界數(shù)列”；…（10分）
（3）解：Tn=(1-

1

22

)(1-

1

32

)…(1-

1

n2

)=

1×3

22

•

2×4

32

…

(n-1)(n+1)

n2

=

n+1

2n

，…（11分）
Pn=n+

7

n

，…（12分）
不等式為

n+1

2n

≤k•

n2+7

n

，∴k≥

n+1

2(n2+7)

∵T_n≤kP_n對n≥2，n∈N^*恒成立，∴k≥[

n+1

2(n2+7)

]max，…（13分）
設n+1=t，t≥3，則

n+1

2(n2+7)

=

t

2(t2-2t+8)

=

1

2(t+ 8 t -2)

，…（15分）
當t≥3時，t+

8

t

單調(diào)遞增，∴t=3時，t+

8

t

取得最小值，因此[

n+1

2(n2+7)

]max=

3

22

，…（17分）
∴k的最小值為

3

22

．…（18分）

點評：本題考查新定義，考查新定義的運用，考查恒成立問題，解題的關鍵是正確理解新定義，將恒成立問題轉化為求最大值問題．