Question

20．已知{a_n}是等差數(shù)列，a₁=3，a₄=12，數(shù)列{b_n}滿足b₁=4，b₄=20，且{b_n-a_n}是等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=b_ncosnπ，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n，并判斷是否存在正整數(shù)m，使得S_m=2016？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）可求得d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{1}}{4-1}$=3，{b_n-a_n}是等比數(shù)列，公比q=2，從而求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）化簡c_n=b_ncosnπ=（3n+2^n-1）cosnπ，從而分類討論以確定數(shù)列{c_n}的前n項和S_n，可求得S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-（\frac{3}{2}n+\frac{3}{2}+\frac{1}{3}（{2}^{n}+1）），n為奇數(shù)}\\{\frac{3}{2}n+\frac{1}{3}（{2}^{n}-1），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，從而討論即可．

解答 解：（1）∵{a_n}是等差數(shù)列，a₁=3，a₄=12，
∴d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{1}}{4-1}$=3，
∴a_n=3n，
∵{b_n-a_n}是等比數(shù)列，且b₁-a₁=4-3=1，b₄-a₄=20-12=8，
∴q=2，
∴b_n-a_n=1•2^n-1，
∴b_n=3n+2^n-1；
（2）c_n=b_ncosnπ=（3n+2^n-1）cosnπ，
故①當(dāng)n為奇數(shù)時，
S_n=-（3+1）+（6+2）-（9+4）+…+（3（n-1）+2^n-2）-（3n+2^n-1）
=（-3+6-9+…+3（n-1））-3n+（-1+2-4+…-2^n-1）
=3×$\frac{n-1}{2}$-3n+$\frac{1}{3}$[（-2）ⁿ-1]
=-$\frac{3}{2}$（n+1）+$\frac{1}{3}$[（-2）ⁿ-1]
=-[$\frac{3}{2}$（n+1）+$\frac{1}{3}$（2ⁿ+1）]，
②當(dāng)n為偶數(shù)時，
S_n=-（3+1）+（6+2）-（9+4）+…-（3（n-1）+2^n-2）+（3n+2^n-1）
=（-3+6-9+…-3（n-1）+3n）+（-1+2-4+…+2^n-1）
=3×$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{3}$[（-2）ⁿ-1]
=$\frac{3}{2}$n+$\frac{1}{3}$（2ⁿ-1），
綜上所述，
S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-（\frac{3}{2}n+\frac{3}{2}+\frac{1}{3}（{2}^{n}+1）），n為奇數(shù)}\\{\frac{3}{2}n+\frac{1}{3}（{2}^{n}-1），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
若S_m=2016，故m一定是偶數(shù)，
故$\frac{3}{2}$m+$\frac{1}{3}$（2^m-1）=2016，
故$\frac{1}{3}$（2^m-1）=2016-$\frac{3}{2}$m，
而$\frac{1}{3}$（2¹⁴-1）＞2016，$\frac{1}{3}$（2¹²-1）＜2016-$\frac{3}{2}$×12，
故m值不存在．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的應(yīng)用，同時考查了數(shù)列前n項和的求法及分類討論的思想應(yīng)用．