Question

15．已知函數(shù)f（x）=e^x（x²+ax-a）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a≤4時(shí)，求函數(shù)f（x）在[0，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出a=1時(shí)，f（x）=e^x（x²+x-1），求f'（x）=e^x（x²+3x）即可；
（Ⅱ）根據(jù)a≤4，解f'（x）=0得x=0或-a-2，再分-5＜a≤-4和a≤-5兩情況討論即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e^x（x²+x-1），
令f'（x）=e^x（x²+x-1）+e^x（2x+1）=e^x（x²+3x）=0，
則有x=0或x=-3，
所以f（x）在（-∞，-3）上為增函數(shù)，
在（-3，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)，
從而f（x）的極小值為f（0）=-1，f（x）的極大值為f（-3）=5e^-3；
（Ⅱ）根據(jù)題意，令f'（x）=e^x（x²+ax-a）+e^x（2x+a）=e^x[x²+（a+2）x]=0，
則x²+（a+2）x=0，
又a≤-4，故-a-2≥2，
所以x=0或x=-a-2，
易知f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，
在（0，-a-2）上為減函數(shù)，在（-a-2，+∞）上為增函數(shù)，
根據(jù)a≤4，解f'（x）=0得x=0或-a-2，再分-5＜a≤-4和a≤-5兩情況討論即可．
①當(dāng)-5＜a≤-4，即2≤-a-2＜3時(shí)，
f（x）在（0，-a-2）上為減函數(shù)，在（-a-2，3）上為增函數(shù)，
此時(shí)f（x）_min=f（-a-2）=e^-a-2（a+4）；
②當(dāng)a≤-5，即-a-2≥3時(shí)，
f（x）在[0，3]上為減函數(shù)，
此時(shí)f（x）_min=f（3）=e³（2a+9）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中解答的關(guān)鍵的根據(jù)已知函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，并判斷其符號(hào)．