Question

5．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n-1+3^n-1（n≥2），則數(shù)列{a_n}的通項公式為$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

Answer 1

分析 通過a_n-a_n-1=3^n-1（n≥2），利用累加法可知，當(dāng)n≥2時a_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，進(jìn)而只需驗證當(dāng)n=1時是否成立即可．

解答 解：∵a_n=a_n-1+3^n-1（n≥2），
∴a_n-a_n-1=3^n-1（n≥2），
當(dāng)n≥2時，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=3^n-1+3^n-2+…+3¹+1
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$
=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，
又∵a₁=1滿足上式，
∴a_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，
故答案為：$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式，考查累加法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．