Question

9．已知函數(shù)f（x）=axsinx-$\frac{3}{2}$（a∈R），若對x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）的最大值為$\frac{π-3}{2}$，則
（1）實數(shù)a的值為1；
（2）函數(shù)f（x）在（0，π）內的零點個數(shù)為2．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的最值金額三角函數(shù)的性質即求出a的值，
根據(jù)函數(shù)零點定理即可求出函數(shù)零點的個數(shù)

解答 解：（1）由已知得f′（x）=a（sinx+xcosx），對于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，有sinx+xcosx＞0，當a=0時，f（x）=-$\frac{3}{2}$，不合題意；
當a＜0時，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f′（x）＜0，從而f（x）在∈[0，$\frac{π}{2}$]單調遞減，
又函數(shù)在上圖象是連續(xù)不斷的，故函數(shù)在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為f（0）=-$\frac{3}{2}$，不合題意；
當a＞0時，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f′（x）＞0，從而f（x）在∈[0，$\frac{π}{2}$]，單調遞增，
又函數(shù)在上圖象是連續(xù)不斷的，故函數(shù)在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{πa}{2}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{π-3}{2}$，解得a=1，
（2）由（1）知，f（x）=xsinx-$\frac{3}{2}$從而有f（0）=-$\frac{3}{2}$＜0，f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π-3}{2}$＞0，
又函數(shù)在上圖象是連續(xù)不斷的，所以函數(shù)f（x）在∈[0，$\frac{π}{2}$]，內至少存在一個零點，
又由（1）知f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]單調遞增，故函數(shù)f（x）在∈[0，$\frac{π}{2}$]，內僅有一個零點．
當x∈[$\frac{π}{2}$，π]時，令g（x）=f′（x）=sinx+xcosx，
由g（$\frac{π}{2}$）=1＞0，g（π）=-π＜0，且g（x）在[$\frac{π}{2}$，π]上的圖象是連續(xù)不斷的，故存在m∈[$\frac{π}{2}$，π]，使得g（m）=0．
由g′（x）=2cosx-xsinx，知x∈[$\frac{π}{2}$，π]時，有g′（x）＜0，從而g（x）在[$\frac{π}{2}$，π]上單調遞減．
當x∈[$\frac{π}{2}$，m），g（x）＞g（m）=0，即f′（x）＞0，從而f（x）在[$\frac{π}{2}$，m）內單調遞增
故當x∈[$\frac{π}{2}$，m）時，f（x）＞f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π-3}{2}$＞0，從而f（x）在[$\frac{π}{2}$，m）內無零點；
當x∈[m，π]時，有g（x）＜g（m）=0，即f′（x）＜0，從而f（x）在[m，π]內單調遞減．
又f（m）＞0，f（π）＜0且f（x）在[m，π]上的圖象是連續(xù)不斷的，從而f（x）在[m，π]內有且僅有一個零點．
綜上所述，函數(shù)f（x）在（0，π）內有且僅有兩個零點．
故答案為：（1）1，（2）2．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，研究函數(shù)的單調性，及函數(shù)零點的判定定理，解題的關鍵是利用導數(shù)這個工具研究清楚函數(shù)的單調性，本題考察了轉化的思想方法及判斷推理的能力，是高考中常見的題型，必考題，學習時要悉心掌握此類題的解題規(guī)律