Question

15．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且滿足bcos C=（3a-c）cos B．若$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}$=4，則ac的值為12．

Answer 1

分析 利用正弦定理把題設(shè)等式中的邊換成角的正弦，進(jìn)而利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理求得cosB的值．由$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}$=4可得ac=12．

解答 解：在△ABC中，∵bcosC=（3a-c）cosB，由正弦定理可得 sinBcosC=（3sinA-sinC）cosB，
∴3sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC，化為：3sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．
在△ABC中，sinA≠0，故cosB=$\frac{1}{3}$．
由$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}$=4，可得a•c•cosB=4，即ac=12．
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng) 本題以三角形為載體，主要考查了正弦定理、向量的數(shù)量積的運(yùn)用，考查兩角和公式．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．