Question

17．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，給出下列結(jié)論：
①直線AC₁與BD互相垂直；
②二面角A₁-BD-C的余弦值為$-\frac{1}{3}$；
③AC₁與平面A₁BD的交點(diǎn)是線段A₁C的一個三等分點(diǎn)；
④AC₁與平面A₁BD的交點(diǎn)是△A₁BD的外心；
⑤AC₁與平面A₁BD所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
其中正確的結(jié)論有①②③⑤（請寫出所有正確結(jié)論的序號）．

Answer 1

分析 由線面垂直的判定和性質(zhì)判斷①；通過求解三角形得到二面角A₁-BD-C的余弦值判斷②；求出A到AC₁與平面A₁BD的交點(diǎn)的距離與體對角線的關(guān)系判斷③；通過解三角形判斷④⑤．

解答 解：①連接AC，∵底面ABCD為正方形，∴AC⊥BD，
又CC₁⊥BD，可得直線AC₁與BD互相垂直，①正確；
②∵AB=AD=1，AA₁=2，∴AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，${A}_{1}O=\sqrt{{2}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴cos$∠AO{A}_{1}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{3}$，則二面角A₁-BD-C的余弦值為$-\frac{1}{3}$，②正確；
③$A{C}_{1}=\sqrt{6}$，sin$∠CA{C}_{1}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，解三角形可得，A到AC₁與平面A₁BD的交點(diǎn)的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，是線段A₁C的一個三等分點(diǎn)，③正確；
④解三角形可得，AC₁與平面A₁BD的交點(diǎn)到A₁的距離為$\sqrt{2}$，到B、D的距離均為1，∴AC₁與平面A₁BD的交點(diǎn)不是△A₁BD的外心，④錯誤；
⑤由③知，AC₁與平面A₁BD所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，⑤正確．
故答案為：①②③⑤．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了空間直線和平面的位置關(guān)系，考查了空間想象能力，是中檔題．