Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E是PD的中點(diǎn)．
（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）設(shè)$AP=1，AD=\sqrt{3}$，三棱錐P-ABD的體積$V=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，求AC與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)BD和AC交于點(diǎn)O，連接EO，由中位線定理和線面平行的判定定理，即可得證；
（2）運(yùn)用棱錐的條件公式，計(jì)算可得AB，AC，作AH⊥PB交PB于H，在直角三角形PAB中，運(yùn)用面積求得AH，由線面垂直的性質(zhì)和判定，可得AH垂直于平面PBC，由線面角的定義，可得AC與平面PBC所成角的平面角為∠ACH，再由解直角三角形的知識(shí)，即可得到所求正弦．

解答 解：（1）設(shè)BD和AC交于點(diǎn)O，連接EO，
因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，又E為PD的中點(diǎn)，
所以EO∥PB，且EO在平面AEC內(nèi)，PB不在平面AEC內(nèi)，
所以PB∥平面AEC；
（2）由$AP=1，AD=\sqrt{3}$，
$V=\frac{1}{6}PA•AB•AD=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，得$AB=\frac{3}{2}$，
AC=$\sqrt{3+\frac{9}{4}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
作AH⊥PB交PB于H，
由BC⊥PA，BC⊥AB，
即有BC⊥面PAB，所以BC⊥AH，
所以AH⊥平面PBC，
故$AH=\frac{PA•AB}{PB}=\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$，
故AC與平面PBC所成角的平面角為∠ACH，
則$sin∠ACH=\frac{AH}{AC}=\frac{{2\sqrt{273}}}{91}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間直線和平面的位置關(guān)系：平行和垂直，同時(shí)考查直線和平面所成的角的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．