如圖，橢圓
的左焦點為
，過點
的直線交橢圓于
兩點.
的最大值是
，
的最小值是
，滿足
.
(1) 求該橢圓的離心率；
(2) 設(shè)線段
的中點為
，
的垂直平分線與
軸和
軸分別交于
兩點，
是坐標原點.記
的面積為
，
的面積為
，求
的取值范圍.
（1）
；（2）
.
【解析】
試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的離心率、橢圓與直線相交問題等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，設(shè)出F點坐標，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，得到
代入已知
中，得到
，計算出橢圓的離心率；第二問，根據(jù)題意，設(shè)出橢圓方程和直線方程，兩方程聯(lián)立，消參，利用韋達定理，得到
和
，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范圍.
試題解析：(1) 設(shè)
，則根據(jù)橢圓性質(zhì)得
而，所以有
，
即
，，因此橢圓的離心率為. （4分）
(2) 由(1)可知，
，橢圓的方程為
.
根據(jù)條件直線
的斜率一定存在且不為零，設(shè)直線
的方程為
，
并設(shè)
則由
消去
并整理得
從而有
， （6分）
.
因為
，所以
，
.
由
與
相似，所以
. （12分）
考點：橢圓的標準方程、橢圓的離心率、橢圓與直線相交問題.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆四川省內(nèi)江市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題
一個盒子中放有大小相同的3個白球和1個黑球，從中任取兩個球，則所取的兩個球不同色的概率為 ．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆四川成都樹德中學(xué)高二3月月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題
已知
是橢圓
上的點，
分別是橢圓的左、右焦點，若
，則
的面積為( )
A．
B．
C．
D．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆吉林省長春市新高三起點調(diào)研考試理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題
過拋物線
的焦點
作直線與此拋物線相交于
、
兩點，
是坐標原點，當
時，直線
的斜率的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆吉林省長春市新高三起點調(diào)研考試理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題
已知向量
、
滿足
，
，
，則 
（ ）
A.
B.3 C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆吉林省長春市新高三起點調(diào)研考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題
底面為正三角形且側(cè)棱與底面垂直的三棱柱稱為正三棱柱，則棱長均為
的正三棱柱外接球的表面積為__________.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆吉林省長春市新高三起點調(diào)研考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題
某圓的圓心在直線
上，并且在兩坐標軸上截得的弦長分別為4和8，則該圓的方程為（ ）
A.
B.
C.或
D.或
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆吉林省長春市高二下學(xué)期期末考試理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題
定義在
上的函數(shù)
滿足：①當
時，
；②
.設(shè)關(guān)于
的函數(shù)
的零點從小到大依次為
.若
，則
.（用
表示）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆吉林省長春市高二下學(xué)期期中考試理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
已知橢圓
過點
，且離心率為
.斜率為
的直線
與橢圓
交于
兩點，以
為底邊作等腰三角形，頂點為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）求
的面積．
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