Question

已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）求的面積．

 

Answer 1

(1) ; (2)

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)題意可列方程組，進(jìn)而可求解的值.

(2) 設(shè)直線l的方程為.聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：，①

利用，因此要先確定直線AB的方程和點(diǎn)P到直線AB的距離．設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為AB中點(diǎn)為E，則．

因?yàn)锳B是等腰△的底邊，所以PE⊥AB.所以PE的斜率，解得m=2．

此時(shí)方程①為，解得，所以，所以|AB|=． 此時(shí)，點(diǎn)P（－3，2）到直線AB：的距離，所以S=.

（1）由已知得． （ 2分）

解得.又，所以橢圓G的方程為． （4分)

（2）設(shè)直線l的方程為.

由得． ① 6分

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為AB中點(diǎn)為E，

則． （ 8分），

因?yàn)锳B是等腰△的底邊，

所以PE⊥AB.所以PE的斜率，解得m=2． （ 10分）

此時(shí)方程①為，解得，所以，所以|AB|=． 此時(shí)，點(diǎn)P（－3，2）到直線AB：的距離， 所以△的面積S=． （12分）

考點(diǎn)：橢圓方程、性質(zhì)；直線與橢圓的位置關(guān)系，兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，三角形面積公式.