Question

8．我市一農(nóng)民在自留地建造一個(gè)長10m，深0.5m，橫截面為等腰梯形的封閉式引水槽．若儲水窖頂蓋每平方米的造價(jià)為10元，側(cè)面每平方米的造價(jià)為40元，底部每平方米的造價(jià)為50元．
（1）把建立引水槽的費(fèi)用y（元）表示為引水槽的側(cè)面與地面所成的角∠DAE=θ的函數(shù)；
（2）引水槽的側(cè)面與地面所成的角θ多大時(shí)，其材料費(fèi)最低？最低材料費(fèi)是多少？（精確到0.01，$\sqrt{3}$≈1.732）
（3）按照題條件，在引水槽的深度和橫截面積及所在的材料不改變的情況下，將引水槽的橫截面形狀改變?yōu)檎�方形的材料費(fèi)與（2）中所求得的材料費(fèi)相比較，哪一種設(shè)計(jì)所用材料費(fèi)更��？省多少？

Answer 1

分析 （1）通過作AH⊥CD（垂足為H），依題意可知AH=0.5、∠ADH=θ，通過橫截面是面積為0.25的等腰梯形可知AB=$\frac{1-cotθ}{2}$、CD=$\frac{1+cotθ}{2}$，進(jìn)而AD=0.5•$\frac{1}{sinθ}$，利用y=2•10•AD•40+CD•10•10+AB•10•50化簡可知y=300+200•$\frac{2-cosθ}{sinθ}$；
（2）通過記μ=$\frac{2-cosθ}{sinθ}$即μsinθ+cosθ=2，利用輔助角公式及三角函數(shù)有界性可知μ≥$\sqrt{3}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（3）當(dāng)截面為正方形時(shí)材料費(fèi)700元，比較即得結(jié)論．

解答 解：（1）作AH⊥CD，垂足為H，則AH=0.5，∠ADH=θ，
∵橫截面是面積為0.25的等腰梯形，
∴0.25=$\frac{1}{2}$（AB+CD）AH，
∴0.25=$\frac{1}{2}$[AB+（AB+2•0.5cotθ）]•0.5，
∴AB=$\frac{1-cotθ}{2}$，∴CD=$\frac{1+cotθ}{2}$，
又∵AD=$\frac{AH}{sinθ}$=0.5•$\frac{1}{sinθ}$，
∴y=2•10•AD•40+CD•10•10+AB•10•50
=2•10•0.5$\frac{1}{sinθ}$•40+$\frac{1+cotθ}{2}$•10•10+$\frac{1-cotθ}{2}$•10•50
=400•$\frac{1}{sinθ}$+100•$\frac{1+cotθ}{2}$+500•$\frac{1-cotθ}{2}$
=100（$\frac{6-4cotθ}{2}$+$\frac{4}{sinθ}$）
=300+200•$\frac{2-cosθ}{sinθ}$，
即所求函數(shù)f（θ）=300+200•300+200•$\frac{2-cosθ}{sinθ}$；
（2）記μ=$\frac{2-cosθ}{sinθ}$，則μsinθ+cosθ=2，
∴$\sqrt{{μ}^{2}+1}$sin（θ+φ）=2，
∴$\sqrt{{μ}^{2}+1}$=$\frac{2}{sin（θ+φ）}$≥2，
∴μ²+1≥4，即μ≥$\sqrt{3}$，
∴f（θ）_min=300+200$\sqrt{3}$≈300+200•1•732=646.4，
此時(shí)sin（θ+φ）=1，
∵φ=arccos$\frac{μ}{\sqrt{{μ}^{2}+1}}$
=arccos$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{π}{6}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$，
即當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$時(shí)所用材料費(fèi)最低，最低費(fèi)用為646.4元；
（3）若截面為正方形時(shí)，材料費(fèi)y₁=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$）•10•40+$\frac{1}{2}$•10•50+$\frac{1}{2}$•10•10=700元，
由（2）可知橫截面為等腰梯形時(shí)所用材料費(fèi)比橫截面為正方形時(shí)所用材料費(fèi)要省700-646.4=53.6元．

點(diǎn)評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定函數(shù)模型是關(guān)鍵．注意解題方法的積累，屬于中檔題．