Question

17．已知函數(shù)f（x）=2lnx-（x-1）²-2k（x-1）．
（Ⅰ）當(dāng)k=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（Ⅱ）確定實(shí)數(shù)k的取值范圍，使得存在x₀＞1，當(dāng)x∈（1，x₀）時(shí)，恒有f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求單調(diào)區(qū)間以及極大值；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，首先討論k=1時(shí)是否滿足題意；然后討論k＞1與k＜1時(shí)函數(shù)的單調(diào)性與極值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)k=1時(shí)，f（x）=2lnx-（x-1）²-2（x-1）2lnx-x²+1，（x＞0）
所以f'（x）=$\frac{2}{x}-2x$=$\frac{2（1+x）（1-x）}{x}$，
令f'（x）＞0，得0＜x＜1，
令f'（x）=0得x=1，令f'（x）＜0得x＞1，
所以f（x）在（0，1）上的單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)x=1時(shí)取極大值0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若k=1，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜f（x）_極大值=0，即不存在x₀＞1，當(dāng)x∈（1，x₀）時(shí)，恒有f（x）＞0；
若k＞1，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=2lnx-（x-1）²-2k（x-1）＜2lnx-（x-1）²-2（x-1）＜0，即不存在x₀＞1，當(dāng)x∈（1，x₀）時(shí)，恒有f（x）＞0；
若k＜1，f（x）=2lnx-（x-1）²-2k（x-1）．f'（x）=$\frac{2}{x}-2x+2-2k$=$\frac{2}{x}$[-x²+（1-k）x+1]，
令f'（x）=0，即-x²+（1-k）x+1=0，解得x₁=$\frac{k-1+\sqrt{（1-k）^{2}+4}}{-2}=\frac{1-k-\sqrt{（1-k）^{2}+4}}{2}$＜0，
x₂=$\frac{k-1-\sqrt{（1-k）^{2}+4}}{-2}$=$\frac{1-k+\sqrt{（1-k）^{2}+4}}{2}$＞1，
所以當(dāng)0＜x＜x₂時(shí)，f'（x）＞0，即f（x）在（0，x₂）上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以在（1，x₂）上是單調(diào)增函數(shù)，且f（1）=0，
所以存在x₀＞1，當(dāng)x∈（1，x₀）時(shí)，恒有f（x）＞0．
綜上k的取值范圍是（-∞，1）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的大小與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；考查了討論的數(shù)學(xué)思想；屬于中檔題．