Question

12．已知m＞$\frac{1}{2}$，n＞1，則$\frac{{n}^{2}}{2m-1}$+$\frac{4{m}^{2}}{n-1}$的最小值為（　�。�

• A． 4
• B． 7.5
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 由m＞$\frac{1}{2}$，n＞1，令x=2m-1，y=n-1，則m=$\frac{1}{2}$（x+1），n=y+1，x，y＞0，即有$\frac{{n}^{2}}{2m-1}$+$\frac{4{m}^{2}}{n-1}$=$\frac{（y+1）^{2}}{x}$+$\frac{（x+1）^{2}}{y}$，運(yùn)用基本不等式，注意等號成立的條件，即可得到最小值．

解答 解：由m＞$\frac{1}{2}$，n＞1，令x=2m-1，y=n-1，
則m=$\frac{1}{2}$（x+1），n=y+1，x，y＞0，
即有$\frac{{n}^{2}}{2m-1}$+$\frac{4{m}^{2}}{n-1}$=$\frac{（y+1）^{2}}{x}$+$\frac{（x+1）^{2}}{y}$
=（$\frac{{y}^{2}}{x}$+$\frac{{x}^{2}}{y}$）+（$\frac{2y}{x}$+$\frac{2x}{y}$）+（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）
≥2$\sqrt{xy}$+2$\sqrt{\frac{1}{xy}}$+4
≥2$\sqrt{4}$+4=8，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1取得最小值，且為8．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式的運(yùn)用，注意運(yùn)用換元法，同時(shí)求最值時(shí)，要求一正二定三等，屬于中檔題．