Question

17．已知二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為a，不等式f（x）＜2x的解集是（-1，2），且方程f（x）+$\frac{9}{4}$a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（I）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知不等式f（x）＜0的解集為M，不等式f（x）＞2（m+1）x-m²-m-2的解集為N，若M∪N=N，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，結(jié)合已知，利用“3個(gè)二次”的關(guān)系即可得出f（x）的解析式；
（2）根據(jù)（1）解出M，結(jié)合M∪N=N，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，
∵不等式f（x）＜2x的解集為（-1，2），
∴f（-1）+2=0，f（2）-4=0，且a＞0．
又方程f（x）+$\frac{9}{4}$a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即ax²+bx+c+$\frac{9}{4}$a=0的△=b²-4ac-9a²=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}a-b+c+2=0\\ 4a+2b+c-4=0\\^{2}-4ac-9{a}^{2}=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\\ c=-2\end{array}\right.$．
∴f（x）=x²+x-2．
（2）由（1）得f（x）=x²+x-2＜0的解集M=（-2，1），
若不等式f（x）＞2（m+1）x-m²-m-2的解集為N，
則不等式x²-（2m+1）x+m²+m＞0的解集為N，
即N=（-∞，m）∪（m+1，+∞），
∵M(jìn)∪N=N，
∴M⊆N，
故m≥1，或m+1≤-2，
故實(shí)數(shù)m∈（-∞，-3]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．