Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，令T_n=$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}+…+{S}_{n}}{n}$，稱T_n為數(shù)列a₁，a₂，…，a_n的“理想數(shù)”，已知數(shù)列a₁，a₂，…，a₅₀₀的“理想數(shù)”為2004，求數(shù)列15，a₁，a₂，…，a₅₀₀的“理想數(shù)”．

Answer 1

分析 由新定義可知S₁+S₂+S₃+…+S₅₀₀=2004×500，所以新數(shù)列中對(duì)應(yīng)的理想數(shù)的分子為15×501+2004×500．代入新定義計(jì)算即可求出．

解答 解：∵數(shù)列a₁，a₂，…，a₅₀₀的“理想數(shù)”為2004，∴S₁+S₂+S₃+…+S₅₀₀=2004×500．
設(shè)數(shù)列15，a₁，a₂，…，a₅₀₀的前n項(xiàng)和為A_n，則A_n=S_n-1+15．
∴A₁+A₂+A₃+…+A₅₀₁=15+（S₁+15）+（S₂+15）+…+（S₅₀₀+15）=15×501+2004×500．
∴數(shù)列15，a₁，a₂，…，a₅₀₀的“理想數(shù)”為$\frac{15×501+2004×500}{501}$=15+2000=2015．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)新定義的理解和數(shù)列求和，屬于中檔題．