Question

5．已知點(diǎn)A（5，0），拋物線C：y²=2px（0＜p＜5）的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，作PH⊥l于H，且|PH|=|PA|，∠APH=120°，則p=（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由拋物線的定義可知：丨PH丨=x₁+$\frac{p}{2}$，根據(jù)三角形的性質(zhì)，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程，即可求得p的值．

解答 解：設(shè)P（x₁，y₁），x₁＞0，過(guò)P點(diǎn)做PD⊥OA，
則由|PH|=|PA|，∠APH=120°，則∠APD=30°，
由拋物線的定義可知：丨PH丨=x₁+$\frac{p}{2}$，
∴|PA|=x₁+$\frac{p}{2}$，丨AD丨=5-x₁，
sin∠APD=$\frac{丨AD丨}{丨AP丨}$，則x₁=$\frac{10}{3}$-$\frac{p}{6}$，
則丨PD丨=丨AP丨cos∠APD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{10}{3}$-$\frac{p}{6}$+$\frac{p}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{10}{3}$+$\frac{p}{3}$），
則P（$\frac{10}{3}$-$\frac{p}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{10}{3}$+$\frac{p}{3}$），），將P代入拋物線方程，
整理得：p²-12p+20=0，解得：p=2，或p=10（舍去），
∴p的值2，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，三角形的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．