Question

9．已知長為l（l≥1）的線段AB的兩個端點在拋物線y=x²上滑動，則線段AB的中點M到x軸的距離的最小值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 設拋物線焦點為F，則AF+BF≥AB≥1，利用拋物線的性質(zhì)將AF，BF轉(zhuǎn)化為A，B到準線的距離來表示，得出A，B兩點縱坐標的關系．

解答 解：拋物線y=x²的準線方程為y=-$\frac{1}{4}$，焦點坐標為F（0，$\frac{1}{4}$），
設A點縱坐標為y₁，B點縱坐標為y₂，則線段AB的中點M到x軸的距離為$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$．
∵A到準線的距離為y₁+$\frac{1}{4}$=AF，B到準線的距離為y₂+$\frac{1}{4}$=BF，
∵AF+BF≥AB≥1，∴y₁+$\frac{1}{4}$+y₂+$\frac{1}{4}$≥1，∴y₁+y₂≥$\frac{1}{2}$．∴$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$≥$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，用A，B兩點的縱坐標表示出到焦點的距離是解題關鍵，屬于中檔題．