Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=x（2e^x+ae^-x），（x∈R）是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=-2．

Answer 1

分析 由題意可得f（-x）=f（x），整理得（a+2）•x•（1+e^2x）=0．根據(jù)x∈R，1+e^2x＞0，可得a+2=0，由此可得a的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x（e^x+ae^-x），x∈R是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），即（-x）•（2e^-x+ae^x）=x（2e^x+ae^-x），
整理，得（a+2）•x•（1+e^2x）=0．
∵x∈R，1+e^2x＞0，∴a+2=0，故a=-2．
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，偶函數(shù)的定義和性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．