Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且與曲線相交于，兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的值.

Answer 1

【答案】（1），（2）8

【解析】試題分析：

（1）消去參數(shù)可得的普通方程為，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程可得曲線的直角坐標(biāo)方程為；

（2）易得點(diǎn)在上，所以，，所以的參數(shù)方程為，

聯(lián)立直線的參數(shù)方程與拋物線方程可得.結(jié)合參數(shù)的幾何意義可知.

試題解析：

（1）由直線的參數(shù)方程消去，得的普通方程為，

由得，

所以曲線的直角坐標(biāo)方程為；

（2）易得點(diǎn)在上，所以，所以，

所以的參數(shù)方程為，

代入中，得.

設(shè)，，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，.

則，所以.