Question

13．已知圓O：x²+y²=1和直線l：x=3，在x軸上有一點Q（1，0），在圓O上有不與Q重合的兩動點P、M，設直線MP斜率為k₁，直線MQ斜率為k₂，直線PQ斜率為k₃．
（1）若k₁k₂=-1
①求出點P的坐標；
②MP交l與P′，MQ交l與Q′．求證：以P′Q′為直徑的圓，總過定點，并求出定點的坐標；
（2）若k₂k₃=2，判斷直線PM是否經過定點，若有，求出來；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①k₁k₂=-1，可得PM⊥MQ，即PQ為直徑，進而得到P的坐標；
②設M（m，n），P'（3，s），Q'（3，t），由三點共線，斜率相等，再由直徑式圓的方程，結合恒過定點的思想，即可得到定點；
（2）運用特殊值，求出MP的兩條直線方程，求得交點，再驗證定點，由MP的方程代入圓的方程，運用韋達定理，再由直線的斜率公式，計算即可得到定值2，故定點成立．

解答 解：（1）①k₁k₂=-1，可得PM⊥MQ，
即有PQ為直徑，即P的坐標為（-1，0）；
②證明：設M（m，n），P'（3，s），Q'（3，t），
由P，M，P'共線，可得$\frac{n}{m+1}$=$\frac{s}{4}$，
由Q，M，Q'共線，可得$\frac{n}{m-1}$=$\frac{t}{2}$，
又m²+n²=1，即有n²=1-m²，
即有$\frac{st}{8}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-1}$=-1，即為st=-8，
以P′Q′為直徑的圓的方程為（x-3）²+（y-s）（y-t）=0，
即有（x-3）²+y²+st-y（s+t）=0，
即（x-3）²+y²-8-y（s+t）=0，
不過s，t為何值，令y=0，（x-3）²+y²-8=0，
解得y=0，x=3±2$\sqrt{2}$．
則有以P′Q′為直徑的圓，總過定點，定點的坐標為（3±2$\sqrt{2}$，0）；
（2）k₂k₃=2，所以k₂，k₃同號．
不妨設k₂=1，則QM：y=x-1，與圓的方程聯(lián)立，解得M（0，-1），
k₃=2，則QP：y=2（x-1），與圓的方程聯(lián)立，解得P（$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），此時MP：x-3y-3=0，
同理由圓的對稱性，當M（0，-1）時，k₂=-1，k₃=-2，此時P（（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），MP：x+3y-3=0，
若MP過定點，聯(lián)立直線MP的方程，求得交點為（3，0），
驗證：（3，0）是否為定點．
可設MP：y=k（x-3），代入圓x²+y²=1，可得（1+k²）x²-6k²x+9k²-1=0，
設M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），即有x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9{k}^{2}-1}{1+{k}^{2}}$，
則k₂k₃=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{k}^{2}（{x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$
=$\frac{{k}^{2}（{x}_{1}{x}_{2}+9-3（{x}_{1}+{x}_{2}））}{{x}_{1}{x}_{2}+1-（{x}_{1}+{x}_{2}）}$，
代入韋達定理，化簡可得k₂k₃=2．
則有直線PM經過定點（3，0）．

點評 本題考查直線和圓的位置關系，考查直線方程和圓的方程的運用，以及直線斜率公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．