Question

12．某廠生產(chǎn)的某種零件的尺寸Z大致服從正態(tài)分布N（100，5²），且規(guī)定尺寸Z∉（μ-3σ，μ+3σ）為次品，其余的為正品，生產(chǎn)線上的打包機自動把每4件零件打包成1箱，然后進入銷售環(huán)節(jié)，若每銷售一件正品可獲利50元，每銷售一件次品虧損100元，現(xiàn)從A生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中抽樣25箱做質(zhì)量分析，作出的頻率分布直方圖如下：
（1）估計A生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件的次品率及零件的平均尺寸；
（2）從A生產(chǎn)線上隨機取一箱零件，求這箱零件銷售后的期望利潤及不虧損的概率．

Answer 1

分析 （1）由正態(tài)分布求出Z∉（85，115），由此能求出A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率，由頻率分布直方圖能求出A生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件的平均尺寸．
（2）設(shè)A生產(chǎn)線上的一箱零件（4件）中的正品數(shù)為X，正品率為1-0.2=0.8，故X～B（4，0.8），E（X）=4×0.8=3.2，設(shè)銷售A生產(chǎn)線上的一箱零件獲利為Y元，由Y=50X-100（4-X）=150X-400，E（Y）=150E（X）-400=80元，設(shè)事件B：銷售A生產(chǎn)線上的一箱零件不虧損，由此能求出這箱零件銷售后的期望利潤及不虧損的概率．

解答 解：（1）∵某廠生產(chǎn)的某種零件的尺寸Z大致服從正態(tài)分布N（100，5²），
且規(guī)定尺寸Z∉（μ-3σ，μ+3σ）為次品，
∴Z∉（100-3×5，100+3×5），即Z∉（85，115），
∴A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為：0.012×10+0.008×10=0.20，
A生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件的平均尺寸為：
0.012×10×80+0.024×10×90+0.036×10×100+0.020×10×110+0.008×10×120=98.8．
（2）設(shè)A生產(chǎn)線上的一箱零件（4件）中的正品數(shù)為X，
正品率為1-0.2=0.8，故X～B（4，0.8），E（X）=4×0.8=3.2，
設(shè)銷售A生產(chǎn)線上的一箱零件獲利為Y元，由Y=50X-100（4-X）=150X-400，
E（Y）=150E（X）-400=80元，
設(shè)事件B：銷售A生產(chǎn)線上的一箱零件不虧損，
則這箱零件銷售后的期望利潤及不虧損的概率：
P（B）=P（Y≥0）=P（X=3）+P（X=4）
=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{5}）（\frac{4}{5}）^{3}+{C}_{4}^{4}（\frac{4}{5}）^{4}$=0.8192．

點評 本題考查次品率、平均尺寸、概率的求法，考查正態(tài)分布、頻率分布直方圖、n次獨立重復事件中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．