Question

20．設S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，已知a₁=4，a_n+1=S_n+3ⁿ，設b_n=S_n-3ⁿ．
（1）證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）令c_n=b_n+2-2log₂b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=S_n+3ⁿ，可得S_n+1-S_n=${S}_{n}+{3}^{n}$，變形${S}_{n+1}-{3}^{n+1}=2（{S}_{n}-{3}^{n}）$，即b_n+1=2b_n，即可證明；
（2）c_n=2^n-1+2-2（n-1）=2^n-1-2n．再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n+1=S_n+3ⁿ，∴S_n+1-S_n=${S}_{n}+{3}^{n}$，
化為${S}_{n+1}-{3}^{n+1}=2（{S}_{n}-{3}^{n}）$，
又b_n=S_n-3ⁿ．
∴b_n+1=2b_n，b₁=S₁-3¹=1，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項為1，公比為2．
∴b_n=2^n-1．
（2）解：c_n=b_n+2-2log₂b_n=2^n-1+2-2（n-1）=2^n-1-2n．
∴數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-2×$\frac{n（n+1）}{2}$
=2ⁿ-1-n²-n．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．