Question

2．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（x+5）=16，當x∈（-1，4）時，f（x）=x²-2x，則函數(shù)f（x）在[0，2015]上的零點個數(shù)是605．

Answer 1

分析 可判斷函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為10的函數(shù)；作出函數(shù)f（x）在（-1，9]上的函數(shù)圖象，從而結(jié)合圖象判斷零點的個數(shù)．

解答 解：∵f（x）+f（x+5）=16，
∴f（x+10）+f（x+5）=16；
故f（x）=f（x+10）；
故函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為10的函數(shù)；
作函數(shù)f（x）在（-1，9]上的函數(shù)圖象如下，

故函數(shù)f（x）在（-1，9]上有三個零點；
故函數(shù)f（x）在[0，2009]上有3×201-1=602個零點；
在（2009，2015]上有3個零點；
故函數(shù)f（x）在[0，2015]上的零點個數(shù)是605；
故答案為：605．

點評 本題考查了函數(shù)的周期性的判斷與應(yīng)用及函數(shù)的圖象的作法及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．