Question

11．已知f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x，數(shù)列{a_n}滿足a₁≥1，a_n+1≥f（a_n+1）．
（1）求證：a_n≥2ⁿ-1；
（2）證明：$\frac{2}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{{2}^{2}}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用代入法和數(shù)學(xué)歸納法，即可得證；
（2）由（1）的結(jié)論，運(yùn)用放縮法和裂項(xiàng)相消求和，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：（1）∵f′（x）=x²-1，∴a_n+1≥a_n²+2a_n，
1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁≥1=2¹-1，命題成立；
2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)命題成立，即a_k≥2^k-1；
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1≥a_k²+2a_k=a_k（a_k+2）=2^2k-1≥2^k+1-1；
即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立；
所以，綜上所述，命題成立．
（2）由（1）可得$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$≤$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
則$\frac{2}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{{2}^{2}}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$≤1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{15}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＜1．
即有原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明問題，考查了數(shù)學(xué)歸納法及放縮法的證明，有一定的綜合性．