Question

20．用定義證明：函數(shù)f（x）=x+$\frac{2}{x}$在（$\sqrt{2}$，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)增函數(shù)的定義，設任意的${x}_{1}＞{x}_{2}＞\sqrt{2}$，然后通過作差f（x₁）-f（x₂），可提取公因式x₁-x₂，根據(jù)條件從而證明f（x₁）＞f（x₂），這樣便可得出f（x）在（$\sqrt{2}$，+∞）上為增函數(shù)．

解答 證明：設${x}_{1}＞{x}_{2}＞\sqrt{2}$，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{2}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{2}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵${x}_{1}＞{x}_{2}＞\sqrt{2}$；
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞2；
∴$1-\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在$（\sqrt{2}，+∞）$上是增函數(shù)．

點評 考查增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差比較f（x₁），f（x₂）大小的方法，一般在作差后需提取公因式x₁-x₂．