Question

已知函數(shù)

（1）證明：函數(shù)f(x)是奇函數(shù).

（2）證明：對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)恒有x f(x)<0成立.

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】本試題主要害死考查了函數(shù)的奇偶性和不等式的恒成立問(wèn)題的運(yùn)用。

（1）先根據(jù)定義域和函數(shù)f(x)和f(-x)的關(guān)系式可知。

（2）證明：令x f(x)由(1)易知函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)x＞0時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：，，，故x＞0時(shí)有x f(x)<0從而得到。

析：(1) ……….    2分

………. 4分

又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù). ………. 5分

(2)證明：令x f(x)由(1)易知函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，……….  6分

當(dāng)x＞0時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：………. 7分

，，故x＞0時(shí)有x f(x)<0. …8分

又x f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，∴當(dāng)x＜0時(shí)g(x)＝g(－x)<0，即對(duì)于x≠0的任何實(shí)數(shù)x，均有x f(x)<0. ………. 10分