Question

已知函數(shù).

（1）證明：；

（2）當(dāng)時，，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032605162595719760/SYS201403260517031602786215_DA.files/image002.png">，所求證，所以只需分母即可，設(shè)函數(shù)，對求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，證明最小值大于0即可，所求證的不等式的右邊，需證明函數(shù)的最大值為1即可，對求導(dǎo)，判斷單調(diào)性求最大值；第二問，結(jié)合第一問的結(jié)論，討論的正負(fù)，當(dāng)時，，而與矛盾，當(dāng)時，當(dāng)時，與矛盾，當(dāng)時，分母去分母，等價于，設(shè)出新函數(shù)，需要討論的情況，判斷在每種情況下，是否大于0，綜合上述所有情況，寫出符合題意的的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)，則．

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增．

所以．

又，故．            2分

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減．

所以．

綜上，有．            5分

（Ⅱ）（1）若，則時，，不等式不成立．   6分

（2）若，則當(dāng)時，，不等式不成立．   7分

（3）若，則等價于．   ①

設(shè)，則．

若，則當(dāng)，，單調(diào)遞增，． 9分

若，則當(dāng)，，單調(diào)遞減，．

于是，若，不等式①成立當(dāng)且僅當(dāng)．       11分

綜上，的取值范圍是．

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；3.恒成立問題.