Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{mx}{lnx}$，曲線y=f（x）在點(diǎn)（e²，f（e²））處的切線與直線2x+y=0垂直（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求f（x）的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在最小的常數(shù)k，使得對(duì)于任意x∈（0，1），f（x）＞$\frac{k}{lnx}$+2$\sqrt{x}$恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）令f′（e²）=$\frac{1}{2}$解出m，得出f（x）的解析式，令f′（x）＜0解出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（II）分離參數(shù)得出k＞2x-2$\sqrt{x}$lnx（0＜x＜1）或k＜2x-2$\sqrt{x}$lnx（x＞1），分情況討論求出右側(cè)函數(shù)的最大值或最小值，從而得出k的范圍．

解答 解：（Ⅰ） f′（x）=$\frac{m（lnx-1）}{（lnx）^{2}}$，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（e²，f（e²））處的切線與直線2x+y=0垂直，
∴f′（e²）=$\frac{m}{4}$=$\frac{1}{2}$，
解得m=2，∴f（x）=$\frac{2x}{lnx}$，
∴f′（x）=$\frac{2（lnx-1）}{（lnx）^{2}}$，令f'（x）＜0解得：0＜x＜1或1＜x＜e，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）和（1，e）．    
（Ⅱ）∵f（x）＞$\frac{k}{lnx}$+2$\sqrt{x}$恒成立，即$\frac{2x}{lnx}$＞$\frac{k}{lnx}$+2$\sqrt{x}$?$\frac{k}{lnx}$＜$\frac{2x}{lnx}$-2$\sqrt{x}$，
①當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，lnx＜0，則k＞2x-2$\sqrt{x}$•lnx恒成立，
令g（x）=2x-2$\sqrt{x}$•lnx，則g′（x）=$\frac{2\sqrt{x}-lnx-2}{\sqrt{x}}$，
再令h（x）=2$\sqrt{x}$-lnx-2，則h′（x）=$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$＜0，所以h（x）在（0，1）內(nèi)遞減，
所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）＞h（1）=0，故g′（x）=$\frac{h（x）}{\sqrt{x}}$＞0，
所以g（x）在（0，1）內(nèi)遞增，g（x）＜g（1）=2
∴k≥2．
②當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，lnx＞0，則k＜2x-2$\sqrt{x}$•lnx恒成立，
由①可知，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，所以h（x）在（1，+∞）內(nèi)遞增，
所以當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＞h（1）=0，故g′（x）=$\frac{h（x）}{\sqrt{x}}$＞0，
所以g（x）在（1，+∞）內(nèi)遞增，g（x）＞g（1）=2，
∴k≤2；                            
綜合①②可得：k=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)恒成立問(wèn)題，分類討論思想，屬于中檔題．