Question

12．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．
（1）求證：PB∥平面EAC；
（2）求證：AE⊥平面PCD；
（3）若直線AC與平面PCD所成的角為30°，求$\frac{CD}{AD}$的值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO，可證EO∥PB，即可證明PB∥平面EAC．
（2）要證明AE⊥平面PCD，只要證明AE?面PAD，且平面PAD⊥平面PDC即可．
（3）由（2）可得直線AC與平面PCD所成的角為∠ACE，可求$正△PAD中，AE=\frac{{\sqrt{3}}}{2}AD$，$AC=\sqrt{3}AD$，又$\sqrt{A{D^2}+C{D^2}}=\sqrt{3}AD$，解得$CD=\sqrt{2}AD$，從而求得$\frac{CD}{AD}=\sqrt{2}$．

解答 解：（1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO，
∵O、E分別為BD、PD的中點(diǎn)，
∴EO∥PB，E0?平面EAC，PB?平面EAC，
∴PB∥平面EAC．…．（6分）
（2）∵$\left.\begin{array}{l}矩形ABCD⇒CD⊥AD\\ 面PAD∩面ABCD=AD\\ 面ABCD⊥面PAD\end{array}\right\}\left.{\begin{array}{l}{⇒CD⊥面PAD}\\{CD?面PDC}\end{array}}\right\}⇒面PDC⊥面PAD$，CD?面ABCD，正三角形PAD中，E為PD的中點(diǎn)，
∴AE⊥PD，
又面PDC∩面PAD=PD，AE?面PAD，
∴AE⊥平面PCD…．（10分）
（3）由（2）AE⊥平面PCD，直線AC與平面PCD所成的角為∠ACE．
∴Rt△ACE中，∠ACE=30°，AC=2AE，又$正△PAD中，AE=\frac{{\sqrt{3}}}{2}AD$，
∴$AC=\sqrt{3}AD$，又矩形$ABCD中，AC=\sqrt{A{D^2}+C{D^2}}$，由$\sqrt{A{D^2}+C{D^2}}=\sqrt{3}AD$，
解得$CD=\sqrt{2}AD$，
∴$\frac{CD}{AD}=\sqrt{2}$…..（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和推論論證能力，屬于基本知識(shí)的考查．