Question

7．定義在R上的偶函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有2f（x）+xf′（x）＜2恒成立，則使x²f（x）-f（1）＜x²-1成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍為（　�。�

• A． {x|x≠±1}
• B． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• C． （-1，1）
• D． （-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 根據(jù)已知構(gòu)造合適的函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的取值范圍，并根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)的對(duì)稱性，求出x＜0的取值范圍．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，由2f（x）+xf′（x）-2＜0可知：兩邊同乘以x得：
2xf（x）+x²f′（x）-2x＜0
設(shè)：g（x）=x²f（x）-x²
則g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）-2x＜0，恒成立：
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
由x²f（x）-f（1）＜x²-1
∴x²f（x）-x²＜f（1）-1
即g（x）＜g（1）
即x＞1；
當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，同理得：x＜-1
綜上可知：實(shí)數(shù)x的取值范圍為（-∞，-1）∪（1，+∞），
故選：B

點(diǎn)評(píng) 主要根據(jù)已知構(gòu)造合適的函數(shù)，函數(shù)求導(dǎo)，并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，偶函數(shù)的性質(zhì)，難度中檔．