Question

5．求下列函數(shù)的最值及取得最值時(shí)的x的值．
（1）y=sinx，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，當(dāng)x=-$\frac{π}{4}$時(shí)，y_min=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí)，y_max=1；
（2）y=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$），x∈[0，2π]；
（3）y=cos²x+$\sqrt{3}$sinx+$\frac{5}{4}$，x∈R．

Answer 1

分析 （1）由題意利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得要求式子的最值．
（2）由題意利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得要求式子的最值．
（3）由題意利用正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得要求式子的最值．

解答 解：（1）y=sinx，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，當(dāng)x=-$\frac{π}{4}$時(shí)，y_min=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí)，y_max=1，
故答案為：-$\frac{π}{4}$；-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；$\frac{π}{2}$；1．
（2）∵y=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$），x∈[0，2π]，∴$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
故當(dāng) $\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$，即x=0時(shí)，函數(shù)y取得最小值為-$\sqrt{2}$；當(dāng) $\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{3π}{2}$時(shí)，函數(shù)y取得最大值為2；
（3）∵y=cos²x+$\sqrt{3}$sinx+$\frac{5}{4}$=1-sin²x+$\sqrt{3}$sinx+$\frac{5}{4}$=-${（sinx-\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}$+2，x∈R．
故當(dāng)sinx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，即x=2kπ+$\frac{π}{3}$，或 x=2kπ+$\frac{2π}{3}$時(shí)，函數(shù)取得最大值為2；
當(dāng)當(dāng)sinx=-1時(shí)，即x=2kπ+$\frac{3π}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最小值為$\frac{1}{4}$-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．