Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，橢圓C上任意一點到它兩焦點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設(shè)0為原點．點A為圓C上一點，點B的坐標為（t，2），t∈R，且OA⊥OB，判斷直線AB與圓x²+y²=2的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式及橢圓的性質(zhì)，求出a與b的值，即可確定出橢圓C的方程；
（2）設(shè)出點A，B的坐標分別為（x₀，y₀），（t，2），其中x₀≠0，由OA⊥OB得到$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，用坐標表示后把t用含有A點的坐標表示，然后分A，B的橫坐標相等和不相等寫出直線AB的方程，然后由圓x²+y²=2的圓心到AB的距離和圓的半徑相等說明直線AB與圓x²+y²=2相切．

解答 解：（1）∵橢圓C上任意一點到它兩焦點的距離之和為4，
∴由橢圓的定義可知，2a=4，
∴a=2，
∵e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c=$\sqrt{2}$，
∴b=$\sqrt{2}$，
∴C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）直線AB與圓x²+y²=2相切．
證明如下：
設(shè)點A，B的坐標分別為（x₀，y₀），（t，2），其中x₀≠0．
∵OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，即tx₀+2y₀=0，解得t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$．
當x₀=t時，y₀=-$\frac{{t}^{2}}{2}$，代入橢圓C的方程，得t=±$\sqrt{2}$．
故直線AB的方程為x=±$\sqrt{2}$，圓心O到直線AB的距離d=$\sqrt{2}$．
此時直線AB與圓x²+y²=2相切．
當x₀≠t時，直線AB的方程為y-2=$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}-t}$（x-t），
即（y₀-2）x-（x₀-t）y+2x₀-ty₀=0．
圓心O到直線AB的距離d=$\frac{|2{x}_{0}-t{y}_{0}|}{\sqrt{（{y}_{0}-2）^{2}+（{x}_{0}-t）^{2}}}$．
又x₀²+2y₀²=4，t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$．
故d=$\frac{|\frac{4+{{x}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}|}{\sqrt{\frac{{{x}_{0}}^{4}+8{{x}_{0}}^{2}+16}{2{{x}_{0}}^{2}}}}$=$\sqrt{2}$．
此時直線AB與圓x²+y²=2相切．

點評 此題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，解決此類問題的必須熟悉曲線的定義和曲線的圖形特征，這也是高考常考的知識點，屬于中檔題．