Question

12．已知f（x）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+sin2x，則f（x）的值域為[-1-$\sqrt{2}$，$\frac{5}{4}$]．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+1-2sin²（x-$\frac{π}{4}$）令sin（x-$\frac{π}{4}$）=t，則t∈[-1，1]，換元后由二次函數(shù)區(qū)間的值域可得．

解答 解：化簡可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+sin2x
=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+cos（2x-$\frac{π}{2}$），
=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+cos[2（x-$\frac{π}{4}$）]
=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+1-2sin²（x-$\frac{π}{4}$）
令sin（x-$\frac{π}{4}$）=t，則t∈[-1，1]，
換元可得y=-2t²+$\sqrt{2}$t+1，
由二次函數(shù)可知當(dāng)t=$\frac{\sqrt{2}}{4}$時，函數(shù)取最大值$\frac{5}{4}$；
當(dāng)t=-1時，函數(shù)取最小值-1-$\sqrt{2}$，
∴函數(shù)的值域為：[-1-$\sqrt{2}$，$\frac{5}{4}$]
故答案為：[-1-$\sqrt{2}$，$\frac{5}{4}$]

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及換元法和二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．