Question

4．設(shè)x₁與x₂分別是方程2x²+bx+c=0和-2x²+bx+c=0的一個(gè)根，且x₁x₂≠0．求證：方程x²+bx+c=0有且只有一根介于x₁和x₂之間．

Answer 1

分析 先由x₁與x₂分別是實(shí)系數(shù)方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一個(gè)根，得到關(guān)于x₁與x₂的兩個(gè)等式，再設(shè)f（x）=ax²+bx+c，利用條件推出f（x₁）f（x₂）＜0，即可說明方程ax²+bx+c=0有一個(gè)根介于x₁和x₂之間．

解答 解：由于x₁與x₂分別是方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的根，所以有$\left\{\begin{array}{l}{{{2x}_{1}}^{2}+{bx}_{1}+c=0}\\{-{{2x}_{2}}^{2}+{bx}_{2}+c=0}\end{array}\right.$．
設(shè)f（x）=x²+bx+c，則f（x₁）=x₁²+bx₁+c=-${{x}_{1}}^{2}$，f（x₁）=${{x}_{2}}^{2}$+bx₂+c=3${{x}_{2}}^{2}$，
∴f（x₁）f（x₂）=-3x₁²x₂²．
∵x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0，所以f（x₁）f（x₂）＜0，
因此，方程x²+bx+c=0有且只有一根介于x₁和x₂之間．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一元二次方程根的分布問題．在解題過程中用到了零點(diǎn)存在性定理，若想說函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上有零點(diǎn)，只要區(qū)間兩端點(diǎn)值異號(hào)即可，屬于中檔題．