Question

3．設(shè)集合A={x∈R|x²+2x+2-p=0}，且A∩{x|x＞0}=∅，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析 A∩{x∈R|x＞0}=∅，表示A為空集或A中的元素均小于等于0，即方程x²+2x+2-p=0無(wú)實(shí)根，或是方程x²+2x+2-p=0的根都小于或等于0．根據(jù)韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系），可以構(gòu)造不等式組，解不等式組，即可得到答案．

解答 解：∵A∩{x∈R|x＞0}=∅，
∴（1）若A=∅，則△=4-8+4p＜0，得p＜1；
（2）若A≠∅，則A={x|x≤0}，
即方程x²+2x+2-p=0的根都小于或等于0．
設(shè)兩根為x₁、x₂，則△≥0，即p≥1．
x₁+x₂=-2≤0，x₁x₂=2-p≥0
∴1≤p≤2．
綜上所述，p≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題中易忽略點(diǎn)是對(duì)A=∅的討論，集合運(yùn)算和集合關(guān)系中，由于空集的特殊性，故一定要考慮∅是否滿足要求，如果滿足要求，則對(duì)∅的分類討論必不可少；另外方程x²+2x+2-p=0的根都小于或等于0表示①方程有實(shí)根，即△≥0②兩根之和大于等于0③兩根之積大于等于0．三個(gè)條件必須同時(shí)滿足．